A parte da geometria que vai ser abordada, faz parte daquilo a que  chamamos de Geometria Euclideana.

Foi Euclides quem deu nome a este campo da geometria por ter sido o primeiro matemático que se ocupou da organização dos conhecimentos da geometria no plano e no espaço.

Os conceitos de ponto, recta e plano são conceitos que não podem ser definidos. Podem apenas ser imaginados intuitivamente.

É a sua noção e a forma como se relacionam no espaço que vamos passar a abordar.

 

NOÇÃO DE PONTO

A noção de ponto pode ser-nos dada intuitivamente pelo mais pequeno grão de areia desprovido de espessura, ou então pela marca deixada no papel pelo toque de um lápis bem afiado. Um ponto não tem dimensão e é usualmente representado por dois pequenos traços concorrentes, perpendiculares, e identificado com uma letra latina maiúscula. Exemplo: ponto A

+ A

NOÇÃO DE RECTA

Imagina que o teu lápis se prolonga infinitamente e é desprovido de espessura. Esta imagem conduz-nos à noção de recta. Outras situações do dia-a-dia podem também levar-nos à noção de recta, como por exemplo, um fio "infinitamente" grande e bem esticado ou os cabos da electricidade. Uma recta é constituída por uma infinidade de pontos. Uma recta tem dimensão um, isto é, apenas possui dimensão linear, o comprimento. É representada por uma "linha" e identificada por uma letra latina minúscula. Exemplo: recta r

MODO DE DEFINIR UMA RECTA

Na Geometria Euclideana, o Axioma 1 diz-nos que "dois pontos definem uma recta".  Este termo "definem" significa que determinam unicamente. Neste caso dizer que "dois pontos definem uma recta" significa dizer que dados dois pontos há uma e uma só recta que os contém.

 

POSIÇÃO RELATIVA DE RECTAS  E  PONTOS

Três pontos dizem-se colineares se e só se existir uma recta que passe pelos três pontos. Note-se que neste contexto, dizer que "uma recta passa por um ponto" é o mesmo que dizer que esse ponto pertence á recta. Um ponto diz-se exterior a uma recta se não pertencer à recta, isto é, se a recta não passar por ele. Por qualquer ponto passam infinitas rectas.

POSIÇÕES RELATIVAS DE  RECTAS NUM PLANO

Para relacionar rectas num plano, podes intuitivamente pensar na forma como dois lápis se podem posicionar em cima de uma mesa. Tendo em conta esta imagem, podes fàcilmente concluir que num plano duas rectas podem verificar um e um só destes casos: 

1. Se as duas rectas têm um e um único ponto em comum então dizem-se rectas concorrentes.

 

2. Senão as duas rectas dizem-se paralelas e dividem-se em dois grupos.

 

NOÇÃO DE PLANO                                                                                                    

Imagina, o tampo de uma mesa sem espessura e prolongado até ao infinito. A sala onde a mesa se encontra, ficou dividida em dois e se pensarmos que o dito "tampo" se prolonga infinitamente, pode-se até dizer que todo o universo se dividiu em dois. Intuitivamente esta noção de "tampo infinito", induz-nos à definição de plano. Mas existem outras situações do quotidiano que nos tornam possível descrever um plano, tais como, o chão de uma sala, o tecto, ou a superfície de um lago.  Qualquer deles nos ajuda a visualizar um plano pois são superfícies planas que podemos imaginar desprovidas de espessura e prolongadas infinitamente.

Um plano tem dimensão dois isto é, possui comprimento e largura. É representado por um paralelogramo e usualmente identificado por uma letra minúscula do alfabeto grego.

MODOS DE DEFINIR UM PLANO

Relembrando que três pontos dizem-se colineares se, e só se, uma recta contém os três pontos, estamos em condições de falar na forma como Euclides definiu um plano. 

Na Geometria Euclideana, o Axioma 2 diz-nos que" três pontos não colineares definem um plano". Repara então na representação de um   plano µ definido pelos pontos A, B e C distintos e não colineares.

Este axioma surge constantemente à nossa frente. Pensa numa mesa. Certamente o mais importante é a sua estabilidade e esta está associada aos "pés" em que assenta o tampo. Partindo do princípio que os pés de uma dada mesa são todos iguais e uniformes, poderíamos então pensar que quantos mais pés tiver a mesa mais estável ela é. Mas isso não é verdade. Por exemplo se todos os pés estiverem dispostos sob uma mesma recta, a mesa, por muitos pés que tenha, não se aguentará em pé.  No entanto Euclides resolve esta situação aplicando Axioma 2. Este diz que "três pontos não colineares definem um plano". No caso da nossa mesa ela fica mais estável se por exemplo os seus pés assentarem em 3 pontos não colineares no tampo.

No entanto existem outros modos de definir um plano que aparecem sob a forma de teoremas deduzidos a partir dos axiomas de Euclides. Temos então:

 

 

 

POSIÇÕES RELATIVAS DE RECTAS A PLANOS NO ESPAÇO

Um exemplo intuitivo desta primeira situação é considerar a superfície de um lago como um plano e uma caneta como uma recta e depois imaginar que se mergulha uma parte da caneta no lago.

 

Euclides demonstrou o chamado critério de perpendicularidade de recta e plano. Trata-se de um teorema que nos diz que "se uma recta é perpendicular a duas rectas concorrentes de um plano então ela é perpendicular ao plano".

                                                        

Euclides demonstrou aquilo a que chamou Critério de Paralelismo de Recta e Plano que nos diz   que "se uma recta é paralela a uma recta contida num plano, então é paralela a esse plano".

POSIÇÕES RELATIVAS DE DOIS PLANOS NO ESPAÇO

Para falarmos das posições relativas de dois planos no espaço vamos começar por recordar o Axioma 4 que nos diz que "a intersecção de dois planos concorrentes é uma recta". Chamamos então planos concorrentes a quaisquer dois planos que tenham uma, e uma só, recta em comum. Os planos concorrentes dividem-se em dois grupos consoante o ângulo que formam entre si:

O teorema que diz "se um plano contém uma recta perpendicular a outro, então os dois planos são perpendiculares" foi demonstrado por Euclides e este deu-lhe o nome de Critério de Perpendicularidade de dois Planos.

Se os dois planos não são concorrentes dizemos que são paralelos e dividem-se em dois casos:

Euclides demonstrou o Critério de Paralelismo de Dois Planos que nos diz que "se um plano contém duas rectas concorrentes a outro plano então os dois planos são paralelos ".

r//ß e s//ß e rCµ e sCµ então µ//ß

Vamos agora, enunciar alguns resultados demonstrados por Euclides e que estão associados aos critérios de perpendicularidade e de paralelismo, enunciados anteriormente.

Teorema 1: Dois planos distintos paralelos a um terceiro, são estritamente  paralelos entre si.

Este teorema, garante a transitividade da relação de paralelismo.

Teorema 2: Se dois planos são perpendiculares à mesma recta, então são  paralelos.

Teorema 3: Um plano corta planos paralelos segundo rectas paralelas.

POSIÇÕES RELATIVAS DE RECTAS NO ESPAÇO

Agora que já definimos o que é um plano e como estes se relacionam no espaço já estamos em condições de definir as posições relativas de rectas no espaço.

No espaço duas rectas podem ser classificadas como complanares ou não complanares.

Duas rectas r e s não complanares dizem-se perpendiculares se r for perpendicular a duas rectas secantes complanares a s.

Senão as rectas não complanares dizem-se oblíquas.

 

PROJECÇÃO ORTOGONAL DE UM PONTO SOBRE UMA RECTA E SOBRE UM PLANO

Seja uma recta e A um ponto não pertencente a essa recta. Pelo ponto A passa uma e uma só recta perpendicular a r que a intersecta.  Ao ponto B, ponto de intersecção dessa recta com r, chamamos projecção ortogonal de A sobre r.

Seja ß um plano e A um ponto não pertencente a esse plano. Existe uma, e uma só, recta s que passa pelo ponto A e é perpendicular ao plano ß.

Ao ponto B de intersecção de s com ß chamamos projecção ortogonal de A sobre ß.

PLANO MEDIADOR

Chama-se plano mediador do segmento [AB] ao plano que contém o ponto médio M deste segmento.

Qualquer ponto do plano mediador está à mesma distância dos pontos A e de B.